卷积与自由能

类别:    标签: 数理   阅读次数:   版权: (CC) BY-NC-SA

2013-11-20 10:37:38

卷积(convolution)是信号处理中一个重要概念, 与其相应的另一个概念是相关(correlation). 它们的英文很类似, 定义也很类似. 卷积研究和过去的关系, 相关则研究与将来的联系, 当时间反向时, 相关就变成了卷积.

卷积 $f(t) \otimes g(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau$

相关 $f(t) \circledast g(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t+\tau) d\tau$

关系 $f(t) \otimes g(t) = f(-t) \circledast g(t)$

此文中我们只关注卷积.

卷积的定义

指数函数与高斯函数的卷积

指数函数与高斯函数的卷积

若 $f(t)=A e^{-\alpha t}, g(t)={1 \over \sqrt{2 \pi} \sigma}e^{-(t-t_0)^2/2\sigma^2}$, 则

其中,

由此, 易知

卷积滑动平均的含义使得它可以和很多其他领域联系起来, 例如配分函数, 自由能.

对NPT模拟, 配分函数

$Q=\lt e^{-\beta E} \gt = \int e^{-\beta E} p(E) dE$

Gibbs自由能

$G=-kT \ln \lt e^{-\beta E} \gt =-{1 \over \beta} \ln Q$

若能量服从正态分布

$p(E)={1 \over \sqrt{2 \pi} \sigma } e^{-(E-E_0)^2/2\sigma^2}$

当直接加和计算时, 若能量取值范围有限, , 此时

$\ln I$ 可用Wolfram Alpha求解, 但仅限于整数.

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