Drude振子的相互作用能

类别:    标签: 数理   阅读次数:   版权: (CC) BY-NC-SA

2013-12-24 10:52:24

Drude模型是力场中常用的极化模型, 也可算作最简单的. 其基本思想也很简单, 原子核周围的电子云可以变形, 发生极化, 极化后正负电荷中心不再重合, 因而中心之间产生了一定的相互作用, 这种相互作用可以谐振子模型进行近似描述.

单个的Drude模型可看作量子谐振子(也称量子Drude振子), 双Drude系统也即双量子谐振子系统. 当沿 $x$ 轴放置, 彼此之间相距很远时, 只考虑它们之间的偶极相互作用, 其Hamilton算子

当两振子相同时, 可通过变量替换法求得此系统的解析解, 进而求得其能量本征值, 相互作用能. 当两振子不同时, 可利用微扰法求得其相互作用能.

首先忽略两振子之间的相互作用, 系统可看作两个未耦合的量子谐振子. 对每个量子谐振子, 利用升降算符及其关系式

可求得单个粒子谐振子任意两态之间的矩阵元

对未耦合的双量子谐振子系统, 其能级为

$E^{(0)}(n_1, n_2)=(n_1+{1 \over 2}) \hbar \omega_1+(n_2+{1 \over 2}) \hbar \omega_2, n_1,n_2=0,1,2 …$

任意两态之间的矩阵元

其二阶微扰能

根据Kronecker $\delta$ 函数的性质, 上式只有满足 $n_1=n_1’-1$ 或 $n_1=n_1’+1$ 且 $n_2=n_2’-1$ 或 $n_2=n_2’+1$ 时, 累加项才不为零, 综合四种情况, 可计算得

$E^{(2)}(n_1, n_2)={\beta^2 \hbar \over 4 m_1m_2 \omega_1 \omega_2} \left( {n_1-n_2 \over \omega_1-\omega_2}-{n_1+n_2+1 \over \omega_1+\omega_2} \right)$

上式即为非简并双Drude振子的二阶微扰能量, 不适用于兼并情形, 除非 $n_1=n_2=0$.

当两振子相同时, 其基态的二阶微扰能也可利用上式得出

$E^{(2)}_0= -{\beta^2 \hbar \over 8 m^2 \omega^3} = -{\beta^2 \hbar \omega \over 8 k^2}$

对Drude振子, 其极化率 $\alpha=q^2/k$, 故

$E^{(2)}_0= -{\alpha^2 \hbar \omega \over 2 (4 \pi \varepsilon_0)^2 r^6}$.

可见, Drude振子之间的相互作用能与距离的6次方成反比, 这与van der Waals相互作用符合.

推广到三维的Drude振子, 其Hamilton算子

若两振子相同, 其二阶微扰能为

$E^{(2)}_0= -{\alpha^2 \hbar \omega \over 2 (4 \pi \varepsilon_0)^2 r^6}(1+1/4+1/4) = -{3 \alpha^2 \hbar \omega \over 4 (4 \pi \varepsilon_0)^2r^6}$

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