Hamaker方程

类别:    标签: 数理   阅读次数:   版权: (CC) BY-NC-SA

2014-11-18 19:50:43

若粒子之间的van der Waals吸引势与距离的6次方成反比, Hamaker方程给出了两个宏观球形粒子之间的吸引能. 当粒子之间的吸引势取其他形式时, 可利用下式进行计算

令 $\a=R_1, \b=R_2, \k={-\p^2 q^2 \l \over z}$

当 $n \le 4$ 时, 此积分需要单独考虑.

$n=1$

这种情形下, 两个球形粒子之间的势能与将其视为处于中心的质点是一样的. 引力, 静电相互作用就属于这种情况, 所有我们可以将星球与荷电小球视为质点, 利用万有引力定律或是库伦定律计算势能.

$n=2$

相关的积分公式如下

下面的eigenmath代码用于计算定积分

# Language: eigenmath
A4 = -1
A3 = 2z
A2 = a^2+b^2-z^2
A1 = -2 z a^2
A0 = a^2(z^2-b^2)

I4(R)= -A4 a R^4/10
I3(R)= -A3 a R^3/6
I2(R)= -(A4 a^2/5 + A2/3) a R^2
I1(R)= -(A3 a^2/2 + A1) a R
I00(R)= -(A4 a^4/5 + A2 a^2/3 + A0) a  # ln(R^2-a^2)
I01(R)= (A4 R^5/5 + A2 R^3/3 + A0 R + A3 (R^4-a^4)/4 + A1 (R^2-a^2)/2 ) # ln((R-a)/(R+a))

I41(R)= I5+I4+I3+I2
I41(z+b)-I41(z-b)
simplify

I00(z+b)
simplify
I00(z-b)
simplify

I01(z+b)
simplify

I01(z-b)
simplify

最终结果

$n=3$

$n=4$

$n=5$

$n=6$

下面的 matlab 代码可以帮助推导 $n>4$ 时的结果

# Language: matlab
clc;
syms n z r R a b In I f E real

% In=(R^2-a^2)*r^(2-n)/(n-2) -2*R*r^(3-n)/(n-3) + r^(4-n)/(n-4);
% 
% m=6;
% 
% I=subs(In, n, m);
% I=In;
% I=subs(I, r, R+a)-subs(I, r, R-a);
% I=simple(I);
% I
% pretty(I)

I=2*(a*n+exp(2*a*n)*(a*n-1)+1)*exp(-n*(a+R))/n^3

f=(b^2-(z-R)^2)*I
pretty(f)

I=int(f,R);
I=simple(I);
% I=subs(I, 'sqrt(-1)', 'j');
% I=subs(I, 'atan((R*j)/a)', 'j*log((a+R)/(a-R))/2');
% I=collect(I, 'j');
% I=subs(I, 'j^2', '-1');
I
pretty(I)

E=subs(I, R, z+b)-subs(I, R, z-b);
E=simple(E);
% E=collect(E,'a^2+b^2-z^2')
E
pretty(E)

可见, 即便对于均匀分布的球形粒子, 其作用力的一般形式也很复杂, 但综合看起来, 表达式中都含有对数形式, 这可能预示着在构造势函数时要考虑对数形式的函数, 但常见的势能函数中却很少使用这种形式.

推广一下, 当粒子之间的相互作用为指数势 $e^{-nr}$ 时, 得到的结果更简单,

其中

$A= {2\over n^4} e^{-n\a}, B=n[1+n\a+(n\a-1)e^{2n\a}], C=n^2\a^2+3n\a-e^{2n\a}(n^2\a^2-3n\a+3n+3)$

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