2013-08-10 10:49:40
球谐函数是一类特殊函数. 虽说被称为特殊函数, 其实它们并没有什么特殊的地方, 只不过比那些常见的指数函数、三角函数稍微复杂一些而已, 你一旦熟悉了它们的性质, 就不会再觉得它们有什么特殊了.
这类特殊函数之所以在物理、化学和计算机科学中都有着重要应用, 是因为它们的独特性质:
- 构成一组正交基, 任何球面上的函数都可以展为球谐函数的线性组合
- 展开系数平方和具有旋转不变性
由性质1, 我们可以把原子波函数的角度部分展开为球谐函数的线性组合. 化学物理中为人熟知的原子轨道的角度部分就是球谐函数, 常用的spdf轨道实际就是经过处理的几个球谐函数.
对性质2, 在计算机图形学的形状识别中有着重要应用, 许多识别算法就是基于球谐函数的旋转不变性.
定义:基于缔合Legendre多项式(Associated Legendre Polynomial)
Yml=√2l+14π(l−m)!(l+m)!Pml(cosθ)eimϕ,m∈Z,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]
此定义式对m正负无要求, 故
Yˉml=√2l+14π(l+m)!(l−m)!Pˉml(cosθ)e−imϕ
缔合Legendre多项式
Pml(x)=(−1)m(1−x2)m/2dmdxmPl(x),m>0
若m取负值时, 定义为
Pˉml=(−1)m(l−m)!(l+m)!Pml(x)
故
Yˉml=√2l+14π(l+m)!(l−m)!(−1)m(l−m)!(l+m)!Pml(cosθ)e−imϕ=√2l+14π(l−m)!(l+m)!(−1)mPml(cosθ)e−imϕ=(−1)m(Yml)∗
(−1)m 项称为Condon-Shortley相因子, 有人会省略此项, Mathematica计算时会考虑此项.
此外, Yml(−θ,−ϕ)=[Yml(θ,ϕ)]∗
由于Legendre多项式归一化条件为
∫1−1Pml(x)Pml′(x)dx=22l+1(l+m)!(l−m)!δll′故可定义归一化Legendre多项式为
ˆPml(x)=√2l+12(l−m)!(l+m)!Pml(x),m∈Z
ˆPˉml(x)=(−1)mˆPml(x)
其最大值为 P0l(±1)=√2l+12 满足归一化条件
∫1−1ˆPml(x)ˆPml(x)dx=1
∫1−1ˆPml(x)ˆPˉml(x)dx=(−1)m
利用归一化条件, 我们可以重新定义球谐函数为
Yml=1√2πˆPml(cosθ)eimϕ
|Yml|=1√2πˆPml(cosθ)
ℜYml=1√2πˆPml(cosθ)cosmϕ
ℑYml=1√2πˆPml(cosθ)sinmϕ
其中, ˆPml 为归一化的Legendre多项式.
因此, 球谐函数归一化条件可写为
∫2π0dϕ∫1−1(Yml)∗Ymldx=∫2π0dϕ∫1−112πˆPml(x)ˆPml(x)dx=1Yml 的计算实际上归结为计算缔合Legendre多项式 Pml, 根据不同需要, 可适当采取下面几种方法:
- 使用程序自带的库函数, 若其中包含Legendre多项式
- 使用Legendre多项式的显式公式, 若计算的阶数不是很大
- 利用如下递推关系进行计算, 最通用的方法
(l−m)Pml=x(2l−1)Pml−1−(l+m−1)Pml−2
Pmm=(−1)m(2m−1)!!(1−x2)m/2
Pmm+1=x(2m+1)Pmm
Numerical Recipes中有相应的源码, 不再赘述.
计算 Yml 时须计算 sin(mϕ),cos(mϕ), 由于三角函数的计算较多项式为慢, 因此可利用三角公式将其展开为 sinϕ,cosϕ,sin2ϕ,cos2ϕ 的多项式. 下面是m到6时的公式:
sin2ϕ=2sinϕcosϕ,cos2ϕ=cos2ϕ−sin2ϕ
sin3ϕ=sinϕ(−sin2ϕ+3cos2ϕ),cos3ϕ=cosϕ(cos2ϕ−3sin2ϕ)
sin4ϕ=4sinϕcosϕ(cos2ϕ−sin2ϕ),cos4ϕ=1−8sin2ϕcos2ϕ
sin5ϕ=sinϕ[1+4cos2ϕ(cos2ϕ−3sin2ϕ)],cos5ϕ=cosϕ[1+4sin2ϕ(sin2ϕ−3cos2ϕ)]
sin6ϕ=sinϕcosϕ[6−32sin2ϕcos2ϕ],cos6ϕ=(cos2ϕ−sin2ϕ)(1−16sin2ϕcos2ϕ)
当然, 这些优化方法只有你需要大量计算 Yml 时才能提高点速度, 对于普通情况, 你很可能感觉不到计算速度的变化.
下面是一些相关函数的图像.
可以看出, P0l(x) 也就是通常所说的Legendre多项式, 为l阶多项式; Pml(x) 的奇偶性与l+m的奇偶一致.
参考
- 中文wiki:球谐函数
- 中文wiki:球谐函数表
- Rotation Invariant Spherical Harmonic of 3D Shape