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球谐函数及Legendre多项式

类别:    标签: 数理   阅读次数: 2624  版权: (CC) BY-NC-SA

2013-08-10 10:49:40

球谐函数是一类特殊函数. 虽说被称为特殊函数, 其实它们并没有什么特殊的地方, 只不过比那些常见的指数函数、三角函数稍微复杂一些而已, 你一旦熟悉了它们的性质, 就不会再觉得它们有什么特殊了.

这类特殊函数之所以在物理、化学和计算机科学中都有着重要应用, 是因为它们的独特性质:

  1. 构成一组正交基, 任何球面上的函数都可以展为球谐函数的线性组合
  2. 展开系数平方和具有旋转不变性

由性质1, 我们可以把原子波函数的角度部分展开为球谐函数的线性组合. 化学物理中为人熟知的原子轨道的角度部分就是球谐函数, 常用的spdf轨道实际就是经过处理的几个球谐函数.

对性质2, 在计算机图形学的形状识别中有着重要应用, 许多识别算法就是基于球谐函数的旋转不变性.

定义:基于缔合Legendre多项式(Associated Legendre Polynomial)

Yml=2l+14π(lm)!(l+m)!Pml(cosθ)eimϕ,mZ,θ[0,π],ϕ[0,2π]

此定义式对m正负无要求, 故

Yˉml=2l+14π(l+m)!(lm)!Pˉml(cosθ)eimϕ

缔合Legendre多项式

Pml(x)=(1)m(1x2)m/2dmdxmPl(x),m>0

若m取负值时, 定义为

Pˉml=(1)m(lm)!(l+m)!Pml(x)

Yˉml=2l+14π(l+m)!(lm)!(1)m(lm)!(l+m)!Pml(cosθ)eimϕ=2l+14π(lm)!(l+m)!(1)mPml(cosθ)eimϕ=(1)m(Yml)

(1)m 项称为Condon-Shortley相因子, 有人会省略此项, Mathematica计算时会考虑此项.

此外, Yml(θ,ϕ)=[Yml(θ,ϕ)]

由于Legendre多项式归一化条件为

11Pml(x)Pml(x)dx=22l+1(l+m)!(lm)!δll
11Pml(x)Pˉml(x)dx=(1)m22l+1δll

故可定义归一化Legendre多项式为

ˆPml(x)=2l+12(lm)!(l+m)!Pml(x),mZ

ˆPˉml(x)=(1)mˆPml(x)

其最大值为 P0l(±1)=2l+12 满足归一化条件

11ˆPml(x)ˆPml(x)dx=1

11ˆPml(x)ˆPˉml(x)dx=(1)m

利用归一化条件, 我们可以重新定义球谐函数为

Yml=12πˆPml(cosθ)eimϕ

|Yml|=12πˆPml(cosθ)

Yml=12πˆPml(cosθ)cosmϕ

Yml=12πˆPml(cosθ)sinmϕ

其中, ˆPml 为归一化的Legendre多项式.

因此, 球谐函数归一化条件可写为

2π0dϕ11(Yml)Ymldx=2π0dϕ1112πˆPml(x)ˆPml(x)dx=1

Yml 的计算实际上归结为计算缔合Legendre多项式 Pml, 根据不同需要, 可适当采取下面几种方法:

计算 Yml 时须计算 sin(mϕ),cos(mϕ), 由于三角函数的计算较多项式为慢, 因此可利用三角公式将其展开为 sinϕ,cosϕ,sin2ϕ,cos2ϕ 的多项式. 下面是m到6时的公式:

sin2ϕ=2sinϕcosϕ,cos2ϕ=cos2ϕsin2ϕ

sin3ϕ=sinϕ(sin2ϕ+3cos2ϕ),cos3ϕ=cosϕ(cos2ϕ3sin2ϕ)

sin4ϕ=4sinϕcosϕ(cos2ϕsin2ϕ),cos4ϕ=18sin2ϕcos2ϕ

sin5ϕ=sinϕ[1+4cos2ϕ(cos2ϕ3sin2ϕ)],cos5ϕ=cosϕ[1+4sin2ϕ(sin2ϕ3cos2ϕ)]

sin6ϕ=sinϕcosϕ[632sin2ϕcos2ϕ],cos6ϕ=(cos2ϕsin2ϕ)(116sin2ϕcos2ϕ)

当然, 这些优化方法只有你需要大量计算 Yml 时才能提高点速度, 对于普通情况, 你很可能感觉不到计算速度的变化.

下面是一些相关函数的图像.

可以看出, P0l(x) 也就是通常所说的Legendre多项式, 为l阶多项式; Pml(x) 的奇偶性与l+m的奇偶一致.

参考

  1. 中文wiki:球谐函数
  2. 中文wiki:球谐函数表
  3. Rotation Invariant Spherical Harmonic of 3D Shape
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