abs(x):x的绝对值或向量x的长度adj(m): 矩阵m的伴随矩阵，等于m的行列式乘以m的逆矩阵and(a,b,...): 逻辑与arccos(x):x的反余弦$\cos^{-1}(x)$arccosh(x):x的反双曲余弦$\cosh^{-1}(x)$arcsin(x):x的反正弦$\sin^{-1}(x)$arcsinh(x):x的反双曲正弦$\sinh^{-1}(x)$arctan(y,x):y/x的反正切$\tan^{-1}(y/x)$arctanh(x):x的反双曲正切$\tanh^{-1}(x)$arg(z): 复数z的幅角besselj(x,n): 贝塞尔函数binding(s): 符号表达式的原本形式binomial(n,k): 二项式系数, 或组合数ceiling(x): 大于或等于x的最小整数check(x): 测试表达式x的值并决定是否停止脚本choose(n,k): 组合数circexp(x): 计算x表达式，将其中的三角函数和双曲函数转换为指数形式clear: 清除所有的符号定义clock(z): 复数z的极坐标形式，但使用-1作为底数，而不使用ecoeff(p,x,n): 多项式p中$x^n$项的系数cofactor(m,i,j): 矩阵m第i行、第j列元素的代数余子式, 伴随矩阵的转置。conj(z): 复数z的共轭。contract(a,i,j): 张量a对指标i和j缩并, 矩阵m的迹cos(x):x的余弦cosh(x):x的双曲余弦cross(u,v): 向量u和v的叉积curl(u): 向量u的旋度d(f,x):f对x的偏导数defint(f,x,a,b): 从a到b,f对x的定积分deg(p,x): 多项式p中x的最高次数denominator(x): 表达式x的分母det(m): 矩阵m的行列式dim(a,n): 张量a第n个指标的维数, 或矩阵a第n列的维数div(u): 向量u的散度do(a,b,...): 从左到右依次计算每个参数表达式，返回最后一个参数的计算结果dot(a,b,...): 向量、矩阵、张量的点积，矩阵乘法draw(f,x): 绘制f(x)的函数图像e: 初始化为自然常数eeigen(m): 数值计算特征值和特征向量, $m=Q’DQ$erf(x):x的误差函数erfc(x):x的余误差函数eval(f,x,a):x等于a时表达式f的值exp(x):x的e次幂$e^x$expand(r,x): 多项式r按x次数的部分分数展开expcos(z):z的余弦函数的指数形式expcosh(z):z的双曲余弦函数的指数形式expsin(z):z的正弦函数的指数形式expsinh(z):z的双曲正弦函数的指数形式exptan(z):z的正切函数的指数形式exptanh(z):z的双曲正切函数的指数形式factor(n): 数n的因数（质数分解）factor(p,x): 多项式p关于x的因式分解factorial(n):n的阶乘n!filter(f,a,b,...):f中不包含a、b等的表达式float(x): 表达式x的有理数和整数转换为浮点数之后的值floor(x): 小于或等于x的最大整数for(i,j,k,a,b,...):i取值从j到k时，计算a、b及后续表达式的值gcd(a,b,...): 各表达式的最大公约数hermite(x,n):x的n阶Hermite多项式- (新版本中不可用)
hilbert(n):n阶Hilbert矩阵 hadamard(a,b,...): Hadamard积(对应元素的乘积)i: 初始化为虚数单位$(-1)^{1/2}$imag(z):z的虚部inner(a,b,...): 向量、张量、矩阵的内积（矩阵乘法）integral(f,x):f关于x的不定积分inv(m): 矩阵m的逆矩阵isprime(n): 若n为质数返回1，否则返回0j: 设置j=sqrt(-1), 以便使用j而不是i作为虚数单位kronecker(a,b,...): 向量, 矩阵的Kronecker积(直积)laguerre(x,n,a):x的n阶关联Laguerre多项式last: 上一步的计算结果lcm(a,b,...): 各表达式的最小公倍数leading(p,x): 多项式p中x最高次项的系数legendre(x,n,m):x的n阶关联Legendre多项式- (新版本中不可用)
lisp(x): 计算表达式x并返回结果的前缀符号形式 log(x): 以e为底x的对数(自然对数)mag(z): 复数z的模minor(m,i,j): 矩阵m的i行j列对应的余子式minormatrix(m,i,j): 矩阵m去除i行j列后的结果mod(a,b):a除以b的模noexpand(x): 计算表达式x的值, 但不展开求和进行not(x): 逻辑非nroots(p,x): 多项式p(x)的所有根number(x): 判断数字numerator(x): 表达式x的分子or(a,b,...): 逻辑或outer(a,b,...): 向量、矩阵或张量的外积（张量积）pi: 符号πpolar(z): 复数z的极坐标形式power: 使用^求幂prime(n): 第n个质数print(a,b,...): 计算表达式并输出结果product(i,j,k,f): 连乘积product(y):y分量的连乘积.quote(x): 表达式x，而不先计算其值quotient(p,q,x):p(x)对q(x)的商rank(a): 矩阵或张量a的秩rationalize(x): 通分real(z): 复数z的实部rect(z): 复数z的三角函数形式roots(p,x): 多项式p(x)的根rotate(u,s,k,...): 旋转向量urun(file): 执行脚本filesimplify(x): 化简表达式xsin(x):x的正弦函数值sinh(x):x的双曲正弦函数值sqrt(x):x的平方根status: 当前的内存使用情况stop: 终止运行当前脚本- (新版本中不可用)
string(x): 计算x表达式并返回字符串 subst(a,b,c): 将c中的b替换为asum(i,j,k,f): 连加和sum(y):y各分量的连加和tan(x):x的正切值tanh(x):x的双曲正切值taylor(f,x,n,a):x趋于a时,f(x)的n阶Taylor展开test(a,b,c,d,...): 连续测试trace: 追踪计算过程transpose(a,i,j): 转置tty: 文本终端unit(n):n阶单位矩阵zero(i,j,...): 零张量
- 2021-10-21 00:10:57
Eigenmath是一个计算机代数系统, 可用于进行简单的数学符号计算, 公式推导. 最近也提供了js版本, 可以直接在浏览器中运行. 我关注它有很多年了, 虽然也只是不时用到. 这里整理了Eigenmath支持的函数的说明, 供参考.
参考资料
- Eigenmath 官方网站 函数说明 参考手册
- TTT Blog 中文翻译
注意
- 注释符为
#或-- - 尽量不要使用
d、e、i、pi作为变量名，因为它们分别代表求导、常数e、虚数i、常数pi。 - 使用括号定义多元矩阵，使用方括号取矩阵中的某个元素。
- 下文中
>后面为输入.
abs(x): x的绝对值或向量x的长度
> X = (x,y,z)
> abs(X)
1/2
2 2 2
(x + y + z )adj(m): 矩阵m的伴随矩阵，等于m的行列式乘以m的逆矩阵
> A = ((a,b),(c,d))
> adj(A) == det(A) inv(A)
1and(a,b,...): 逻辑与
如果所有参数都为真（即非零），返回1，否则返回0。
> and(1=1,2=2)
1arccos(x): x的反余弦$\cos^{-1}(x)$
> arccos(1/2)
1
--- π
3arccosh(x): x的反双曲余弦$\cosh^{-1}(x)$
arcsin(x): x的反正弦$\sin^{-1}(x)$
> arcsin(1/2)
1
--- π
6arcsinh(x): x的反双曲正弦$\sinh^{-1}(x)$
arctan(y,x): y/x的反正切$\tan^{-1}(y/x)$
> arctan(1,0)
1
--- π
2arctanh(x): x的反双曲正切$\tanh^{-1}(x)$
arg(z): 复数z的幅角
> arg(2 - 3i)
arctan(-3,2)besselj(x,n): 贝塞尔函数
> besselj(x,1/2)
1/2
2 sin(x)
-------------
1/2 1/2
π xbinding(s): 符号表达式的原本形式
计算一个符号表达式时，其结果可能与符号表达式的原始形式不同，比如结果表达式会展开。使用binding函数可以返回符号表达式原本的形式。
> p = quote((x + 1)^2)
> p
> binding(p)
2
p = x + 2 x + 1
2
(x + 1)binomial(n,k): 二项式系数, 或组合数
$(x+y)^n$的展开式中$x^k y^(n-k)$项的系数.
此函数与choose相同。
> binomial(52,5)
2598960ceiling(x): 大于或等于x的最小整数
> ceiling(1/2)
1check(x): 测试表达式x的值并决定是否停止脚本
如果x为真（非零）则继续执行脚本，否则停止脚本。表达式x可以包含比较运算，比如=、==、<、<=、>、>=。可以使用not函数测试非等价条件。
> A = 1
> B = 1
> check(A=B) -- 如果A不等于B, 则在此处停止脚本choose(n,k): 组合数
从n中不考虑顺序取k个项的组合数（即$C_n^k$）。
> choose(52,5)
2598960circexp(x): 计算x表达式，将其中的三角函数和双曲函数转换为指数形式
> circexp(cos(x) + i sin(x))
exp(i x)clear: 清除所有的符号定义
clock(z): 复数z的极坐标形式，但使用-1作为底数，而不使用e
> clock(2 - 3i)
arctan(-3,2)
--------------
1/2 π
13 (-1)coeff(p,x,n): 多项式p中$x^n$项的系数
> p = x^3 + 6x^2 + 12x + 8
> coeff(p,x,2)
6cofactor(m,i,j): 矩阵m第i行、第j列元素的代数余子式, 伴随矩阵的转置。
> A = ((a,b),(c,d))
> cofactor(A,1,2) == adj(A)[2,1]
1conj(z): 复数z的共轭。
> conj(2 - 3i)
2 + 3 icontract(a,i,j): 张量a对指标i和j缩并, 矩阵m的迹
如果忽略i和j，则分别取1和2。表达式contract(m)表示计算矩阵m的迹（即$\tr(m)$）。
> A = ((a,b),(c,d))
> contract(A)
a + dcos(x): x的余弦
> cos(pi/4)
1
------
1/2
2cosh(x): x的双曲余弦
> circexp(cosh(x))
1 1
--- exp(-x) + --- exp(x)
2 2cross(u,v): 向量u和v的叉积
cross函数可重定义，默认定义如下：
cross(u,v) = (u[2] v[3] - u[3] v[2],
u[3] v[1] - u[1] v[3],
u[1] v[2] - u[2] v[1])curl(u): 向量u的旋度
curl函数可重定义，默认定义如下：
curl(u) = (d(u[3],y) - d(u[2],z),
d(u[1],z) - d(u[3],x),
d(u[2],x) - d(u[1],y))d(f,x): f对x的偏导数
> d(x^2,x)
2 x参数f可以是任意秩的张量，参数x可以是向量。当x为向量时，结果为f的梯度。
> F = (f(),g(),h())
> X = (x,y,z)
> d(F,X)
┌ ┐
│ d(f(),x) d(f(),y) d(f(),z) │
│ │
│ d(g(),x) d(g(),y) d(g(),z) │
│ │
│ d(h(),x) d(h(),y) d(h(),z) │
└ ┘d可以用作变量名，它不会与函数d冲突。
可以将d重定义为其他函数，这种情况下仍然可以使用derivative(d的同义函数)计算偏导数。
defint(f,x,a,b): 从a到b, f对x的定积分
参数可以扩展以对多个变量进行定积分计算（多重积分），例如defint(f,x,a,b,y,c,d)等价于defint(defint(f,x,a,b),y,c,d)。
> f = (1 + cos(theta)^2) sin(theta)
> defint(f, theta, 0, pi, phi, 0, 2pi)
16
---- π
3deg(p,x): 多项式p中x的最高次数
> p = (2x + 1)^3
> deg(p,x)
3denominator(x): 表达式x的分母
> denominator(a/b)
bdet(m): 矩阵m的行列式
> A = ((a,b),(c,d))
> det(A)
a d - b cdim(a,n): 张量a第n个指标的维数, 或矩阵a第n列的维数
注意编号从1开始。
> A = ((1,2),(3,4),(5,6))
> dim(A,1)
3div(u): 向量u的散度
div函数可重定义，默认定义如下：
div(u) = d(u[1],x) + d(u[2],y) + d(u[3],z)do(a,b,...): 从左到右依次计算每个参数表达式，返回最后一个参数的计算结果
> do(A=1,B=2,A+B)
3注意，计算过程的中间变量在函数计算结束后仍然会保留。
dot(a,b,...): 向量、矩阵、张量的点积，矩阵乘法
# 计算方程组AX=B的解
> A = ((1,2),(3,4))
> B = (5,6)
> X = dot(inv(A),B)
> X
┌ ┐
│ -4 │
│ │
X = │ 9 │
│ --- │
│ 2 │
└ ┘draw(f,x): 绘制f(x)的函数图像
可以通过设置xrange和yrange指定绘制范围
> xrange = (0,1)
> yrange = (0,1)
> draw(x^2,x)注意，该功能需要在GUI中使用。
e: 初始化为自然常数e
> e^x
exp(x)注意: 可以清除或重定义e, 用作其他.
eigen(m): 数值计算特征值和特征向量, $m=Q’DQ$
注意，矩阵m必须为数值, 且对称。计算结果会保存在Q和D变量中，其中Q的行保存了特征向量，D对角线上的元素为特征值。
> A = ((1,2),(2,1))
> eigen(A)
> dot(transpose(Q),D,Q)
┌ ┐
│ 1 2 │
│ │
│ 2 1 │
└ ┘erf(x): x的误差函数
erfc(x): x的余误差函数
eval(f,x,a): x等于a时表达式f的值
参数列表可以扩充以支持多个变量。比如，eval(f,x,a,y,b)等价于eval(eval(f,x,a),y,b)。
> eval(x + y,x,a,y,b)
a + bexp(x): x的e次幂$e^x$
> exp(i pi)
-1expand(r,x): 多项式r按x次数的部分分数展开
> p = (x + 1)^2
> q = (x + 2)^2
> expand(p/q,x)
2 1
-------- + -------------- + 1
x + 2 2
x + 4 x + 4expcos(z): z的余弦函数的指数形式
> expcos(z)
1 1
--- exp(i z) + --- exp(-i z)
2 2expcosh(z): z的双曲余弦函数的指数形式
> expcosh(z)
1 1
--- exp(-z) + --- exp(z)
2 2expsin(z): z的正弦函数的指数形式
> expsin(z)
1 1
---- i exp(i z) + --- i exp(-i z)
2 2expsinh(z): z的双曲正弦函数的指数形式
> expsinh(z)
1 1
---- exp(-z) + --- exp(z)
2 2exptan(z): z的正切函数的指数形式
> exptan(z)
i i exp(2 i z)
---------------- - ----------------
exp(2 i z) + 1 exp(2 i z) + 1exptanh(z): z的双曲正切函数的指数形式
> exptanh(z)
1 exp(2 z)
--------------- + --------------
exp(2 z) + 1 exp(2 z) + 1factor(n): 数n的因数（质数分解）
> factor(12/35)
2
2 3
------
5 7如果n是一个浮点数，则选取它的一个近似值进行计算。
> factor(float(pi))
5 71
------
113factor(p,x): 多项式p关于x的因式分解
对于多变量的多项式，函数的参数列表可以扩展。
> p = 2x + x y + y + 2
> factor(p,x,y)
(x + 1) (y + 2)注意，factor函数返回的是未展开的表达式，如果将结果赋值给一个符号变量，则对这个符号变量的计算会将结果展开。如果希望保持不展开的结果，可通过binding函数进行处理。
> p = 2x + x y + y + 2
> q = factor(p,x,y)
> q
q = 2 x + x y + y + 2
> binding(q)
(x + 1) (y + 2)factorial(n): n的阶乘n!
也可以使用n!。
> 20!
2432902008176640000filter(f,a,b,...): f中不包含a、b等的表达式
> p = x^2 + 3x + 2
> filter(p,x^2)
3 x + 2float(x): 表达式x的有理数和整数转换为浮点数之后的值
注意，pi和e也会转换。
> float(212^17)
39
3.52947 10floor(x): 小于或等于x的最大整数
> floor(1/2)
0for(i,j,k,a,b,...): i取值从j到k时，计算a、b及后续表达式的值
> for(k,1,3,A=k,print(A))
A = 1
A = 2
A = 3注意，for循环中i的值在for循环结束后会恢复原值，除非for循环被check之类的函数打断。如果使用i作为计数变量，for循环内的虚数单位会被覆盖（涉及复数计算时，尽量不使用i作为变量）。
gcd(a,b,...): 各表达式的最大公约数
> gcd(x,x y)
xhermite(x,n): x的n阶Hermite多项式
> hermite(x,3)
3
8 x - 12 x(新版本中不可用) hilbert(n): n阶Hilbert矩阵
> hilbert(3)
1 1
1 --- ---
2 3
1 1 1
--- --- ---
2 3 4
1 1 1
--- --- ---
3 4 5hadamard(a,b,...): Hadamard积(对应元素的乘积)
参数的维数必须相同. Hadamard积也可以通过简单地对参数相乘进行计算.
> A = ((A11,A12),(A21,A22))
> B = ((B11,B12),(B21,B22))
> A B
┌ ┐
│ A B A B │
│ 11 11 12 12 │
│ │
│ A B A B │
│ 21 21 22 22 │
└ ┘i: 初始化为虚数单位$(-1)^{1/2}$
> exp(i pi)
-1注意: 可以清除或重定义i做其他用途.
imag(z): z的虚部
> imag(2 - 3i)
-3inner(a,b,...): 向量、张量、矩阵的内积（矩阵乘法）
> A = ((a,b),(c,d))
> B = (x,y)
> inner(A,B)
┌ ┐
│ a x + b y │
│ │
│ c x + d y │
└ ┘注意，inner与dot是同一函数。
integral(f,x): f关于x的不定积分
> integral(x^2,x)
1 3
--- x
3inv(m): 矩阵m的逆矩阵
> A = ((1,2),(3,4))
> inv(A)
┌ ┐
│ -2 1 │
│ │
│ 3 1 │
│ --- ---- │
│ 2 2 │
└ ┘isprime(n): 若n为质数返回1，否则返回0
> isprime(2^31 - 1)
1j: 设置j=sqrt(-1), 以便使用j而不是i作为虚数单位
> j = sqrt(-1)
> 1/sqrt(-1)
-jkronecker(a,b,...): 向量, 矩阵的Kronecker积(直积)
> A = ((1,2),(3,4))
> B = ((a,b),(c,d))
> kronecker(A,B)
┌ ┐
│ a b 2 a 2 b │
│ │
│ c d 2 c 2 d │
│ │
│ 3 a 3 b 4 a 4 b │
│ │
│ 3 c 3 d 4 c 4 d │
└ ┘laguerre(x,n,a): x的n阶关联Laguerre多项式
> laguerre(x,3,0)
1 3 3 2
---- x + --- x - 3 x + 1
6 2last: 上一步的计算结果
> 212^17
3529471145760275132301897342055866171392
> last^(1/17)
212注意，对某些函数，如果未指定参数，则会将last作为参数。
> 212^17
3529471145760275132301897342055866171392
> float
39
3.52947 10lcm(a,b,...): 各表达式的最小公倍数
> lcm(x,x y)
x yleading(p,x): 多项式p中x最高次项的系数
> leading(3x^2+y^4+1,x)
3legendre(x,n,m): x的n阶关联Legendre多项式
> legendre(x,3,0)
5 3 3
--- x - --- x
2 2(新版本中不可用) lisp(x): 计算表达式x并返回结果的前缀符号形式
在调试脚本时很有用。
> lisp(x^2 + 1)
(+ (^ x 2) 1)log(x): 以e为底x的对数(自然对数)
> log(x^y)
y log(x)如果要计算以其他值，如a，为底的对数，可使用换底公式：$log_a(x) = log(x)/log(a)$.
mag(z): 复数z的模
> mag(x + i y)
┌ ┐1/2
│ 2 2│
│x + y │
│ │
└ ┘注意，mag函数会将未定义的符号函数视为实数，而abs函数不会。
minor(m,i,j): 矩阵m的i行j列对应的余子式
> A = ((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))
> minor(A,1,1) == det(minormatrix(A,1,1))
1minormatrix(m,i,j): 矩阵m去除i行j列后的结果
> A = ((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))
> minormatrix(A,1,1)
┌ ┐
│ 5 6 │
│ │
│ 8 9 │
└ ┘mod(a,b): a除以b的模
即a除以b计算整数商时的余数。
> mod(10,7)
3
> mod(5,3/8)
1
---
8noexpand(x): 计算表达式x的值, 但不展开求和进行
> noexpand((x + 1)^2 / (x + 1))
x + 1not(x): 逻辑非
若x为真（非零）返回0，否则返回1
> not(1=1)
0nroots(p,x): 多项式p(x)的所有根
包括实数和复数根。该函数只进行数值计算。p(x)的系数可以是复数。
> nroots((x-1)*(x+2),x)
┌ ┐
│ -2 │
│ │
│ 1 │
└ ┘number(x): 判断数字
如果x为有理数或者浮点数返回1，否则返回0。
> number(1/2)
1numerator(x): 表达式x的分子
> numerator(a/b)
a
> numerator(a/b+b/a)
2 2
a + bor(a,b,...): 逻辑或
如果参数列表中至少有一个表达式为真（非0），则返回1，否则返回0。
> or(1=1,2=2)
1outer(a,b,...): 向量、矩阵或张量的外积（张量积）
> A = (a,b,c)
> B = (x,y,z)
> outer(A,B)
┌ ┐
│ a x a y a z │
│ │
│ b x b y b z │
│ │
│ c x c y c z │
└ ┘pi: 符号π
> exp(i pi)
-1polar(z): 复数z的极坐标形式
> polar(x - i y)
┌ ┐1/2
│ 2 2│
│x + y │ exp(i arctan(-y,x))
│ │
└ ┘power: 使用^求幂
指数为负值时需要加括号.
> x^(-1/2)
1
------
1/2
xprime(n): 第n个质数
注意，n应介于1和10000之间。
> prime(100)
541print(a,b,...): 计算表达式并输出结果
通常与for函数配合使用, 用于在循环内部输出结果。
> for(j,1,3,print(j))
j = 1
j = 2
j = 3product(i,j,k,f): 连乘积
令i取值从j到k，分别计算f，并将它们的值累乘作为结果.
下面的例子等价于计算$(x+1)(x+2)(x+3)$的展开式。
> product(j,1,3,x + j)
3 2
x + 6 x + 11 x + 6注意，i在函数计算结束后会恢复。如果使用i作为变量，则product函数内表达式中的复数单位i会被覆盖。
product(y): y分量的连乘积.
> product((1,2,3,4))
24quote(x): 表达式x，而不先计算其值
> quote((x + 1)^2)
2
(x + 1)
> x=2
> quote((x+1)^2)
2
(x + 1)
> t=last
> t
t = 9quotient(p,q,x): p(x)对q(x)的商
> p = x^2 + 1
> q = x + 3
> quotient(p,q,x)
x - 3rank(a): 矩阵或张量a的秩
> A = ((a,b),(c,d))
> rank(A)
2rationalize(x): 通分
计算表达式x，并使其只有一个分母（即结果只含有一个分式）
> rationalize(1/a + 1/b + 1/2)
2 a + a b + 2 b
-----------------
2 a b注意，rationalize函数返回未展开的表达式。如果将结果赋值给一个符号变量，对其求值会展开表达式。可以使用binding函数保持未展开的表达式。
> f = rationalize(1/a + 1/b + 1/2)
> binding(f)
2 a + a b + 2 b
-----------------
2 a breal(z): 复数z的实部
> real(2 - 3i)
2rect(z): 复数z的三角函数形式
> rect(exp(i x))
cos(x) + i sin(x)roots(p,x): 多项式p(x)的根
该多项式应当能够因式分解。返回的向量中包含了每个根。
> roots(x^2 + 3x + 2,x)
┌ ┐
│ -2 │
│ │
│ -1 │
└ ┘rotate(u,s,k,...): 旋转向量u
向量u必须具有2n个元素, 其中n为整数, 取值范围为1到15. 参数s,k,...为旋转代码的一个序列, 其中s为大写字母, k为4位的数, 从0到n-1. 旋转从左到右进行求值. 可以使用的旋转为:
C, k: 控制前缀 prefixH, k: HadamardP, k, φ: 修改相位(φ = 1/4 π 用于 T 旋转)Q, k: 量子傅里叶变换Quantum Fourier transformV, k: 逆 量子傅里叶变换QuantumInverse quantum Fourier transformW, k, j: 交换位 Swap qubitsX, k: 泡利 XY, k: 泡利 YZ, k: 泡利 Z
控制前缀C, k修改下一个旋转代码, 以便使其成为一个使用k作为控制位的控制旋转. 使用两个会更多前缀来指定多个控制位. 例如, C, k, C, j, X, m为Toffoli旋转. 傅里叶旋转Q, k和V, k用于从0到k的量子位.(Q和V忽略所有控制前缀). 另见手册的第三节.
> psi = (1,0,0,0)
> rotate(psi,H,0)
┌ ┐
│ 1 │
│ ------ │
│ 1/2 │
│ 2 │
│ │
│ 1 │
│ ------ │
│ 1/2 │
│ 2 │
│ │
│ 0 │
│ │
│ 0 │
└ ┘run(file): 执行脚本file
file应为脚本的绝对路径或相对当前可执行文件位置的路径。在批量加载一些自定义函数时很有用，或可以实现脚本的嵌套调用。
> run("Downloads/EVA.txt")simplify(x): 化简表达式x
> simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2)
1sin(x): x的正弦函数值
> sin(pi/4)
1
------
1/2
2sinh(x): x的双曲正弦函数值
> circexp(sinh(x))
1 1
---- exp(-x) + --- exp(x)
2 2sqrt(x): x的平方根
> sqrt(10!)
1/2
720 7status: 当前的内存使用情况
stop: 终止运行当前脚本
(新版本中不可用) string(x): 计算x表达式并返回字符串
在测试脚本时很有用。
> string((x + 1)^2) == "x^2 + 2 x + 1"
1subst(a,b,c): 将c中的b替换为a
> subst(x,y,y^2)
2
xsum(i,j,k,f): 连加和
令i取值从j到k, 分别计算f，并返回各个结果的连加和。
> sum(j,1,5,x^j)
5 4 3 2
x + x + x + x + x注意，sum函数计算结束后，i的值会还原。如果使用i作为变量，则sum函数内的复数单位i会被覆盖。
sum(y): y各分量的连加和
> sum((1,2,3,4))
10tan(x): x的正切值
> simplify(tan(x) - sin(x)/cos(x))
0tanh(x): x的双曲正切值
> circexp(tanh(x))
1 exp(2 x)
--------------- + --------------
exp(2 x) + 1 exp(2 x) + 1taylor(f,x,n,a): x趋于a时, f(x)的n阶Taylor展开
> taylor(sin(x),x,5,0)
1 5 1 3
----- x - --- x + x
120 6test(a,b,c,d,...): 连续测试
如果表达式a为真（非零），则返回b，否则如果表达式c为真，则返回d，依次类推。
如果参数的个数为奇数，则当所有被测试表达式均为假时，返回最后一个表达式。表达式可以包含=、==、<、<=、>、>=。可以使用not函数测试非等价性。(在=为赋值算符的情况下, 可以使用等价算符==)
> A = 1
> B = 1
> test(A=B,"yes","no")
yestrace: 追踪计算过程
设置trace=1时，脚本会输出计算过程。有助于调试。
> trace = 1注意，使用contract函数计算矩阵的迹。
transpose(a,i,j): 转置
张量a对指标i、j的转置。
如果未指定i和j，则默认为1和2，因此可以只使用一个参数对矩阵进行转置。
> A = ((a,b),(c,d))
> transpose(A)
┌ ┐
│ a c │
│ │
│ b d │
└ ┘注意，参数可以扩展以实现多个转置操作。参数从左到右依次计算。例如，transpose(A,1,2,2,3)等价于transpose(transpose(A,1,2),2,3)。
tty: 文本终端
设置tty=1时，结果将以普通文本形式输出。
> tty = 1
> (x + 1/2)^2
x^2 + x + 1/4unit(n): n阶单位矩阵
> unit(3)
┌ ┐
│ 1 0 0 │
│ │
│ 0 1 0 │
│ │
│ 0 0 1 │
└ ┘zero(i,j,...): 零张量
给定维数i, j等的空张量。在创建张量并给每个元素赋值时会很有用。
> A = zero(3,3)
> for(k,1,3,A[k,k]=k)
> A
┌ ┐
│ 1 0 0 │
│ │
A = │ 0 2 0 │
│ │
│ 0 0 3 │
└ ┘