2014-08-02 15:16:49
数学科学与天体力学300年
A. I. Arnold; 高非译; 王继海校
原载于《数学传播》第十三卷第四期
自从牛顿《自然哲学数学原理》问世至今，已整整三百年了。牛顿这一著作奠定了现代理论物理学基础，对科学发展全部进程，都产生了巨大影响。书中不少章节，现已发展成为理论，对此，已写出了成千上万的书。
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牛顿的书，主要为了论述如何解决如下数学问题：证明在到与吸引中心的距离平方成反比的引力作用下，被吸引物体沿椭圆运动，而吸引中心在其中一个焦点上(当初始速度足够大时，物体也可能沿其它锥截曲线──拋物线和双曲线──运动)。换句话说，即根据牛顿万有引力定律，推出刻卜勒行星第一定律(行星沿椭圆轨道运行，太阳位于其中一个焦点上)。
为此目的，牛顿远远地发展了力学的数学工具，从大家熟知的牛顿三定律直到月球摄动理论。
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无论是万有引力定律还是牛顿定律，都不是牛顿发现的。惯性定律(牛顿第一定律)始于伽利略。惠更斯在1659年推导了圆周运动的向心力公式(为此，需要掌握牛顿第二定律)。1663年，惠更斯在伦敦皇家科学院会议上，叙述了能量和动量守恒规律。
刻卜勒(1609)写道：「如果地球停止吸引，所有海水都将涌入月球。」引力平方反比定律，已见于1645年 I. Biot 所著书中。
激发牛顿认真研究引力的推动力，是虎克的一封信。虎克是始建于1662年的皇家科学院的学监，根据规定，学监有责任在每次举行的科学院会议上演示二三种证明某些自然定律的实验。这些定律不一定是他本人的发现，也可得知于和其它学者的通讯，或取自出版物等，只要求是由实验证明成立的定律。
虎克忠实地完成了自己的使命，在长达四十年的期间里，证明了大量自然规律。他个人，一生中发现的规律达五百以上。其中一些规律，至今仍以虎克命名，如弹性基本定律：回复力正比于对平衡位置的偏离。其它一些规律，被归属于另外的作者(如气体弹性定律，作为助手虎克的发现，首先在博伊尔的书中发表，现称为波义耳─马略特定律)。
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由于每周都必须证明几项自然规律，虎克常常很匆忙，无暇顾及自己所发现规律的数学表述。1679年底至1680年初，在与牛顿的通信中。虎克把自己关于引力的一些想法告知牛顿：
(1)被中心力所吸引的物体，当力的大小反比于距离平方时，将沿偏心的类椭圆线(即类似于椭圆的曲线)运动；
(2)实验已经证明，地球引力随高度增加而减小；
(3)如同弹性力在趋向平衡位置时变弱一样，当物体向矿井下落时，引力也将减弱，因此(在无阻力情况下)落体轨道将类似椭圆，其中心即在地球中心处。虎克未能精确确定轨道形状。看来，他用图解法积分运动方程，或者利用了某种特殊的模拟计算器(虎克曾对沿平面、球面，或者其它曲面运动的摆进行实验，他指出，这些实验，视表面不同模拟的引力规律亦不同)。
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虎克希望，牛顿以其卓越的数学方法，定能证明轨道的椭圆性。牛顿也的确完成了这一任务。他用几何方法的证明曾经是(而且仍然是)异常复杂，这使牛顿清楚地意识到，虎克「所断定的比他所知道的要多」。因此，在进一步的工作中，他避免引用虎克。哈雷在1686年曾劝说牛顿在《原理》中提及虎克(虎克在1666年和1674年就发表过关于引力的论文)，在与哈雷的通信中牛顿曾以一段话表达了自己关于数学家(牛顿)与物理学家(虎克)对待科学的差异，这些话时至今日仍有现实意义，牛顿写道：「发现一切的数学家，应满足于驮重的牲畜和枯燥无味的计算者的角色，而另一个人，他什么也不能证明，只是攫取一切，潜望一切，并囊括其前辈及后人的全部荣誉」。
牛顿于1714年断言，他在1665或1666年发现了距离平方反比规律(关于苹果落地的轶闻，是牛顿的外甥女大约在1726年向伏尔泰讲述的)，而轨道的椭圆性，则是在1676或1677年证明的(即在与虎克通讯之前)。后一日期似乎是可疑的，至少，在1684年以前，牛顿从未向任何人谈过自己的证明。而且他什么也没有发表过。
早在l676年，牛顿就写道：「人应当作出抉择──或者什么都不发表，或者用一生去保卫自己的发明权。」看来，他两者都做到了：首先，他什么也未发表过；其次，不断进行关于发明权的争辩(与虎克、莱布尼兹、弗莱斯蒂得、等等)。
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证明轨道的椭圆性之后，牛顿仍然不认为引力定律已经证明。他注意到，地球不是一个点。当然，在吸引物体远处，其引力接近于将该质量放于物体中心点的引力。但是引力定律的导出，是建立在地球对月球的吸引和向地面落石(或苹果)这两者对比基础上的，在计算对月球的吸引时，地球尚可认为是一个点，但对石块，将是另外一种情况。需要证明，虽然地球的不同部位沿不同方向吸引石块，但其合力对石块的作用相当于将地球全部质量集中于中心。
对这一事实的几何证明(如《原理》中所叙述的，其中包括关于完整的球壳对内部点完全无吸引的证明)是要克服许多困难，这在当时也只有牛顿力所能及。
牛顿的这些定理的现代证明基于流体力学考虑，最早由拉普拉斯提出。问题在于，不可压缩流体唯一可能的球对称流，是沿径向的流，其速度与到中心的距离的平方成反比。〔这是因为，单位时间通过半径为任何值的球面的流量均相等而球面积正比于半径平方。与此同理，从中心源向外飞散的粒子(例如太阳光子)通量强度反比于到源的距离平方。〕
于是，点质量的引力场在数学上与不可压缩流体速度场一致！在此意义上，超距作用「变成」了近距作用。
由此立即可得牛顿关于球的引力定理。的确，任意质量系统的引力场在质量之外具有同样的「不可压缩性」(由于总场的通量等于分通量之和，所以，不可压缩场之和也是不可压缩的)。
由球对称的质量分布所产生的引力场仍然是球对称的，在这些质量之外是不可压缩的，因此，其强度反比于到质量中心的距离。比例常数由以下条件确定：通过包含全部源的球面的通量等于源的总强度。因此，这一比例常数对于所有球对称的质量分布都是相同的，其中包括集中于中心的质量。
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牛顿的主要结果──在按距离平方反比规律减弱的场中轨道为椭圆──可以从虎克定律和牛顿定律之间的特殊对偶关系中得出。
一般说，对正比于到吸引中心距离的。次方的引力规律，存在看对应的规律，其次方 A 由条件 (a+3)(A+3)=4 确定。对于虎克定律，a=1，因此，牛顿定律(A=-2)与其对偶。
互偶的定律之间的联系在于：将按 a 次方规律运动的轨道乘以d=(a+3)/2次方，则此轨道即过渡为按 A 次方规律运动的轨道(两种轨道均位于复数平面上)〔《原理》出版后三百年所发现的这一事实，可以通过二次微商验证〕。
按虎克定律，运动轨迹为椭圆，而吸引点在其中心(简谐振动的初等理论)。
牛顿定律(A=-2)与虎克定律(a=1)互偶，其轨道可通过将虎克的轨道乘以二次方得到(d=2)。原来，当对复数取二次方时，虎克的椭圆(中心在原点)即转化为牛顿的椭圆(焦点在原点)！天文学家包林的这个定理，最简单的证明方法是利用儒柯夫斯基函数ω=z+1/z(此函数也用于计算器翼升力)。当变数 z 沿中心在原点的圆周取值时，变数 ω 的复数值在焦点为±2的虎克的椭圆上，而儒柯夫斯基函数的平方ω^2 = z^2 + 1/z^2 + 2，将仍沿椭圆取值，但其焦点已移至原点。
于是，牛顿引力定律的椭圆性，可从虎克定律的椭圆性推导出来。顺便指出，虎克定律可作为均匀地球内的矿井中落体规律而得到实现。虎克曾设想过这一规律，而牛顿证明了它(《原理》中的定理XXXIII)。锥截曲线理论是古希腊数学家建立的，两千年后，牛顿将其应用于天体力学，成为一种基本工具。这是「数学在自然科学中具有不可思议的效力」的一个光辉例证。1979年诺贝尔物理奖得者温伯格，对于数学家超前物理学家这一令人惊奇的现象这样写道：「一些数学家出卖灵魂给魔鬼，以换取何种数学在许多年后将为物理学家所应用的信息。」
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无论是世界体系的发现，无论是理论物理的创建，也无论是天体力学的建立，在公元1700年以前，都未纳入剑桥大学或皇家科学院的年度计划或远景规划。长达七百页的《原理》是牛顿在哈雷的坚持请求下，用一年半的时间完成的。由于此书不在计划之内，哈雷不得不自己出钱出版。
在此期间，牛顿在特立尼蒂学院任教授。当时他只有三名学生。他讲授算术、地理、光学以及其它一些课程。仅在秋季学期授课，(每年十讲)每次讲一个半小时，有时，没有一个学生来上课(牛顿的课以难懂著称)，牛顿只好回家。牛顿把更多的时间和精力用于研究炼金术和神学，他的主要发现都是在他23到24岁时这两个学年中作出的。在《原理》之后(当时牛顿44岁)，他脱离了科学工作。
1696年，牛顿被任命为伦敦造币厂管事，后来又升任厂长，并在由他过去的学生 Halifax 勋爵所领导的经济改革中发挥了重要作用。Halifax 是英国银行的创建者，3位英国勋爵大法官 (Lord Justice) 之一，当威廉三世不在时，3位大法官负责管理国家。
始于内战，终于1688年的「光荣革命」，在英国延续了几十年的革命变革，使国家的经济陷入困境。过去几十年积累的各种弊端，要求经济改革。在这一过程中，不得不及时停止旧的无声望货币的流通。
牛顿在短期内未增加一台新机床就把货币的铸造增加8倍。与此同时，进行了搜寻和侦察，仅在1697年一年，就同法院提出一些案件，结果约有20名造伪币者被处决。
1703年虎克去世，牛顿成为皇家科学院院长，直至1727年逝世。
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在《原理》一书所包含的一些最重要的物理原理中，需要指出关于时空相对性的思想(「在自然界中既不存在静止的物体，……也不存在均匀的运动。」)；关于存在惯性坐标系的假设；决定性原理──世界上所有粒子的初始位置和速度，决定其未来和过去。
过去表现为混沌的宇宙，在《原理》之后似乎变成了某种调整好了的钟表。基本原理的这种规律性和简单性(据此可推导出各种观测到的复杂的运动)，在当时被认为是存在上帝的证明。牛顿写道：「太阳、行星和彗星如此美妙的联合，只有按照智慧超群、威力无边的人的旨意才能发生。他掌管一切，不是作为世界的灵魂，而是作为宇宙的统治者，即占有一切的上帝。」
理论物理在牛顿建造的天堂中逗留了二百余年，直到量子力学和相对论粉碎了这些幻觉。在这里，甚至简要地罗列《原理》的主要具体成就，也都是不可能的，故仅限于指出以下几点：极限理论的建立(与现代理论仅有符号上的差异)，阿贝尔积分超越性的拓扑证明(引理XXVIII)，稀薄介质中高超音速运动阻力的计算 (仅在宇航时代才得到应用)，太阳引起的月球摄动的计算。
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牛顿之后天体力学的发展，表现为万有引力定律所取得的一系列巨大成就：观测上的偏离，被解释为没有精确计算摄动所造成(著名的例外──水星近日点的进动：观测值为每百年576"，而摄动理论仅给出533"。不足的43"只能由广义相对论予以说明。新物理学常常诞生于对最后几位数的修正！)
引力论的第一个巨大成就是预言哈雷彗星的回归。哈雷并未发现公正地以他的名字命名的彗星。他觉察出1456、1531、1607和1682年彗星轨道的相似性，并且大胆预言彗星将在76年后，即在1758年回归。但是，由于木星和土星的摄动，彗星的回来迟了，实际上是在1759年4月经过近日点的(根据 Klero 的计算，对75年的周期，它将迟到618天)，这与 Klero 的预言几乎一致。
引起对引力定律的普遍性和精确性产生怀疑的另一现象是缓慢的但却是毫无疑义的木星加速和土星的减速(刻卜勒1625；哈雷1695)。如果这一过程继续千万年，它将使太阳系完全改观；木星将接近太阳，土星将远离太阳。
全部行星质量总和仅约为太阳质量的千分之一，因此，行星运动中相互吸引所造成的摄动可达其所经过路程的千分之几。如果摄动积累几千年，行星可能损落在太阳之上，并相互碰撞，地球也可能因远离太阳而冻结。
为什么所有这一切均未发生？问题在于，行星在不同时间所经历的摄动，不总是沿同一方向，而且具有振荡的性质。
数学上，这种摄动表现为各分量之和，而分量之形式为：cosωt和sinωt ──周期的，并不危险的摄动。积累的摄动，其分量随时间线性增长，或者表现为振幅随时间增长的振荡：tcos(ω+θ) 。和时间成正比的危险的分量 at 称为长期的，因为，即使系数 a 很小(例如千分之一量级)，经过若干世纪，摄动也将变得很大。这就产生了长期摄动问题：由于宇宙时间尺度十分巨大(几千亿年)，甚至轨道尺度的异常小的长期摄动(如果确实存在的话)，也将根本改变全部太阳系的历史，其中也包括地球的历史。
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问题在于，长期摄动是否真正存在，或者只不过是一种假象，是不成功的数学计算的结果。(例如，考察按x=cosωt振荡的摆，并假设频率 ω 产生一小扰动 a，成为 ω+a。这时，将摄动展开为 a 的级数，将有cos(ω+a)t=cosωt-atsinωt 。在这一展开中包含看危险的，带 at 的「混合」项，与此同时，实际的摆动幅度是有限的，完全不随时间增长。)
对行星摄动的分析，最后使拉格朗日 (1776) 和拉普拉斯 (1784) 得到关于太阳系稳定性的拉普拉斯定理。根据这一定理，即近似在同一平面上，沿互不相交的近似为圆的椭圆轨道向同一方向运动的诸行星相互之间的摄动，仅导致偏心率和在零点附近倾斜的接近周期性的振荡。与此同时，行星到太阳的距离则在初始值附近振荡。换句话说，刻卜勒椭圆的长轴没有长期摄动。
拉普拉斯定理并未被拉普拉斯严格证朗，因为拉普拉斯将摄动表示为级数，并只证明在展开式前几项中不包含长期分量。
后来证明，级数的所有项中均不包含长期项或混合项。然而，据此(级数中不包含长期项)尚不足以得出结论，确认刻卜勒椭圆长轴永远保持在其初始值附近，因为级数本身是发散的(其中一些项很大)。级数的前几项在有限时间范围内给出很好的近似。但不能据此判断轨道在宇宙时间尺度内的行为。
至于木星和土星的相互摄动，正如拉普拉斯在1784年所指出，它们仅导致轨道长周期的。而不是长期的变化，其周期约为900年。在450年内。摄动积累造成的木星和土星的移动不足一度。
轨道几乎位于同一平面。这是极为重要的。如果月球轨道由于某种原因翻转90度，则月球的偏心率在太阳摄动的影响下将如此迅速增长，以致 4 年内月球将嵌入地球(M.A. 利多夫，1963)。
长时期以来，月球的运动一直是最为复杂的问题。因为月球距地球很近。我们可以纪录其微小的位移，于是在级数展开中就不得不考虑高阶小量项。早在1693 年，哈雷就已指出，把阿拉伯和古代观测月蚀的数据与当代数据加以比较就可发现，月球绕日运行周期以及运行轨道有所减少(「长期加速度」为每百年10"。 1770年，巴黎科学院设奖征答：引力理论能否解释上述现象？轨道变短是否将导致月球坠地？欧拉在应征论文中写道：「月球长期运动的不同不可能是引力所引起，这似乎已经以不可置疑的明显性被牢固确立」。他以介质的阻力解释月球的加速，并认为加速将导致灾难。
但是，到了1787年，拉普拉斯又把月球加速与地球轨道偏心率在行星摄动下的长周期振荡联系起来。这些振荡的周期为万年量级，因此，此现象像是长期性的。
地球轨道偏心率的振荡──是引起出现冰川的主要因素之一。由于这种振荡的作用，列宁格勒的有效经度，在几万年内将从 Taimer 的经度变到基辅的经度 (M. Milankovich, 1939)。
至于谈到月球，拉普拉斯的解释只对了一半：除地球轨道偏心率的变化外，还应考虑由潮汐摩擦引起的月球的长期加速(根据某些估计，这种效应的几乎一半要归因于白令海)月球的这一长期加速是表面上的。这可以用地球旋转变慢加以解释。由于潮汐摩擦，地球自转周期(昼夜长)将逐渐增加，经过约10亿年时间地球昼夜长将增加一倍(由于大气层和大洋中物质重新分布而引起的昼夜时间长的季节性振动还要大一百倍)。而月球则由于潮汐摩擦而逐渐远离地球──10亿年远离两倍。
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两体运动问题已由牛顿解决，与此同时，即使是3个质点的运动问题，对于一般初始条件下的解析解，至今不但没有求得，甚至在一定意义上可以说这种解不可能得到(三体问题在《原理》中已被提出)。
尽管如此，欧拉还是指出了某些专门的解 (1767)。在这些特解中，三体相互位置不变或者位于同一直在线，或者位于正三角形的顶点上(拉格朗日，1772)。这样一些解，在发现木星的轨道上有两组小行星「希腊人」和「脱罗央」(特洛伊人)与太阳和土星形成两个等边三角形(「希腊人」落后于木星，而「脱罗央」则超前木星)之前(1906年)，似乎仅仅是数学奇闻。三体位于三角形顶点的解是稳定的，至少在线性近似下是这样。与此同时，三体位于同一直线的解明显不稳定，因此，直至最近一些年曾一直被认为是没有实际意义的。
但是，在宇航时代，情况改变了。位于地球和太阳之间由欧拉解所确定的点上(此点称为秤动点)的空间站，满足观测太阳的最佳条件。这个状态不稳定，犹如「头脚倒置」的摆。空间站相对秤动点极小的偶然偏离，将随时间增长。但走，由于秤动点与精确解相对应，摄动的增长速度很小。为不断校正轨道偏离，使空间站永远停留在秤动点附近，所消耗的能量也不是很大(允许偏离度愈小，能量消耗也愈小)。当正确选择校正方法时，其它物体摄动的影响不改变最后结果(P.E. Eljasberg，1986)。于是，l8世纪发现的精确解，今天在宇航中得到应用。
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在牛顿时代太阳系终止于土星。天王星于1781年3月13已被 Herschel，偶然发现(按照当时传统，在培养专门人才时普遍限制其职责范围和容许积极活动的领域，Herschel 不受传统约束，选择了一条未经开辟的新路)。
1846年9月，在 Adams 和 Leverrier 根据天王星的摄动所预言的位置上发现了海王星。可以说这颗行星是在「笔尖上」发现的。这一发现成为万有引力定律的新胜利，不过，预言的轨道与实际轨道相差甚远(海王星与太阳的平均距离为30个天文单位，而不是预言的38天文单位；偏心率也比预言的小若干倍)。
有些研究者认为，海王星在所预言的位置被发现纯属侥幸。原来，Adam 和 Leverrier的计算是以当时观测的天王星摄动数据为依据的，同时还假设海王星轨道半径遵从「Bode 定律」(由Tichius 发现的)。但这个假设是不正确的。
Tichius 的经验定律(Bode 于1772年 发现了 Tichius 发表的论文)给出下列轨道半径：4(水星)，4+3(金星)，4 + 3×2(地球)，4 + 3×4 (火星)，4 + 3×8(？)，4 + 3×16(木星)，4 + 3×32(土星)，4 + 3×64(天王星)。半径28是一个空白，因为在火星和木星之间不知有任何行星存在。于是，开始寻找这个缺少的行星。
1801年1用1日发现小行星谷神星(直径约一千分里)之后，不久又相继发现智神星(直径600公里)，灶神星(直径540公里)，以及婚神星(直径 250公里)。所有这些小行星的轨道均位于火星和木星的轨道之间。现在，天文学家定期观测2500个类似天体的运动。它们统称之为小行星。这些小行星的直径从几百公里到几百米。看来，直径为 D 或大于 D 的小行星数目反比于 D2。据认为，直径大于一公里的小行星数目达一百万之多。
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有一些小行星的轨道接近于地球轨道，另外一些小行星在行径火星或土星附近时，可能大大偏离原来轨道，也可能靠拢地球。
根据现代资料，地球与直径半公里以上的小行星相遇平均约为十万年一次。小行星与地球相撞时所形成的坑窝，其范围可达几十公里(Kaluk 城即位于坑窝上)，有时甚至上百公里(西伯利亚北部 Popigay 河口附近)。特别大的小行星能穿透地壳(F.L. Whipple 猜测冰岛就是这样形成的)。
在最近4亿年内，与直径为20公里的小行星爱神星相撞(碰撞速度为14公里/秒)的机率，按现代估计约为五分之一。相撞后形成的坑窝的直径约为250公里。
与巨大的小行星相撞的后果类似核战争：大气层实际上不能减低小行星的速度，于是，小行星的全部动能，都在与地球相撞的顷刻之间迸发出来。
特别强的碰撞可能有生态学的意义，使个别大陆，甚至整个地球上的某些物种消亡。由此看来，与小行星相撞的作用可与人类自身活动所造成的后果相当，它并不威胁地球的完整性。
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大多数小行星绕日公转周期均在火星和木星公转周期之间，但分布极不均匀。1857 Kirkwood 发现存在「窗口」──周期轴上无小行星的空白区。这些窗口与共振(可公约周期)相对应：有一个窗口位于木星的半周期附近，另外一个位于木星周期2/3处。此外，还有分别与2/5， 3/5等相对应的窗口。而且，共振等级(指分数的分母)愈高，窗口愈窄。
与窗口类似的间隙，也存在于土星环中。位 于 A 环和B环之间的一个最大间隙，早在1675年即已被 Cassini 发现。在《旅行者-2》所拍摄的B光环的照片上，光环的精细结构清晰可见。宽度为3万公里的 B 环，由相互之间有很宽间隔的一系列环所组成，其中每一个环又分为若干间隙较窄的小环，等等……看来，一直分到环的宽度与土星环厚度(公里量级)相当为止。
土星光环中的间隙，与土星卫星共振相对应。几年前，在一次从飞机上进行的天王星遮掩恒星的观测中，偶然发现了天王星的光环。根据对环的共振结构的分析，苏联天文学家 N. N. Kharkavo 和 A. M. Fridman 预言天王星也有一系列卫星。一年半之后，1986年1月24日，当《旅行者-2》掠过天王星附近时，所有这些卫星都被发现了，而且正好在所预言的距离之处。这是牛顿万有引力定律的又一次胜利。
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在欧拉、拉格朗日和拉普拉斯手中，牛顿的数学方法获得了巨大的技巧上的发展，到 Leverriex 时代，已经达到理论与观测的高度一致。然而，在思想方面，所有这些复杂的计算仍末超出牛顿所创建的摄动理论的各种方案。
从惠更斯和牛顿的天才发现到黎曼和庞加莱将数学几何化，其间长达200年的时期似乎成了只不过充满了各种计算的数学沙漠。
庞加莱，拓朴学以及现代动力系统理论的奠基者，从崭新的角度提出天体运动的问题。他没有寻求天体位置随时间变化的公式，而是提出了关于天体轨道的定性方面的问题。行星是不是相互接近，它们是否会坠落到太阳上，或者远离太阳而去，等等。拉普拉斯「定理」未能回答这些涉及时间间隔无限的问题，因为正如庞加莱所指出，拉普拉斯的级数是发散的。从庞加莱的《天体力学新方法》和《Analysis Situs》(拓朴)开始，新数学──定性数学诞生了。关于这一新数学在天体力学中的应用，这里只能略谈几句。
原来，三体或多体系统中的运动，视初始条件如何，或者表现为规则的，或者表现为混沌的。行星沿刻卜勒椭圆轨道的运动是规则运动的例子。这一椭圆轨道在无限长时间内少许而缓慢地改变其偏心率，同时在摄动的作用下缓慢转动，但永远停留在略微摇摆(在固定位置附近)的平面上，正如拉普拉斯的近似理论所描绘的那样。Kirkwood 窗口附近小行星的运动，是混沌运动的例子 (A.I. Neustadt, 1985；J.L. Tennison等, 1986)：与木星的共振相互作用导致偏心率「偶然的」，不规则的，忽而朝这一方向，忽而又朝另一方向的变化。偏心率这种连接不断的「跳跃」，实际上是各不相关的。根据概率理论，无规则的变化的偏心率有时会变得很大，这时小行星便有可能陨落，例如落到火星上。有一种假说认为，正是这种抛掷小行星的机制，经过上亿年终于导致形成窗口 (Wisdom, 1985)。哈雷雪星轨道也在不规则地变化 (B.V. Chirikov, 1986)。
规则运动和混沌运动的初始条件是相互掺杂的，如同有理数和无理数那样(但有一点差别：无论规则运动，还是混沌运动的概率都是正的，而随机选择一个数为有理数的概率等于零)。于是，即使行星和小行星的运动是规则的，初始状态足够小的摄动也可以使其变成混沌的。不过，幸而这种摄动的发展速度不大，因此，只要初始状态摄动足够小，混沌运动开始产生影响的时间，比太阳系存在的时间长很多。在最近10亿年内太阳系不曾明显变化，而牛顿所描绘的「钟表机制」将继续正常运转。
